《应用数学基础上》课件第七章空间图形.ppt

1、第 七 章 空 间 图 形(一)本 章 内 容 小 结(二)常见问题分类及解法(三)思 考 题(四)课 堂 练 习(一一)本章内容小结本章内容小结一、本章主要内容一、本章主要内容(1)平面的概念以及基本性质.(2)直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系.二、本章重点、难点二、本章重点、难点 线面位置关系，正棱锥、正棱台、圆柱、圆锥、球的概念和性质是重点；空间图形的画法是难点.(3)棱柱、棱锥、棱台的概念及性质.(4)圆柱、圆锥、圆台、球的概念与性质.三、对学习的建议三、对学习的建议 (1)本章内容由两部分组成，第一部分是空间直线和平面，第二部分是多面体和旋转体.第一部分是本章基础、平面几

2、何中定义、定理、公理等，在立体几何中的同一平面内仍成立.(2)第一部分的主要内容是有关空间的直线与直线，直线与平面以及平面与平面的位置关系和有关图形的画法，着重研究的是它们之间的平行与垂直关系.本部分的四个公理是基础，此外，平面几何里的定义、定理等，对于空间的任何平面内的平面图形仍然适用，但对于非平面图形，则需要经过证明才能应用.在解决立体几何的问题时，常把它转化为平面几何的问题来解决.空间两条直线的位置关系有“平行”、“相交”、“异面”三种；空间一条直线和一个平面的位置关系有“直线在平面内”、“平行”、“相交”三种；两个平面的位置关系有“平行”、“相交”两种.关于空间的直线与直线，直线与平面

3、，平面与平面的平行与垂直关系的性质定理与判定定理是本部分的中心问题.应用这些定理时，要弄清定理的题设和结论，判定定理的题设是结论成立的充分条件，性质定理的结论是题设成立的必要条件.当知识融会贯通之后，判定上述图形的平行或垂直关系的途径就更为广泛.例如，可以用“垂直于同一平面的两直线必平行”去判定两条直线平行；用“如果两平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一平面”去判定一条直线与一个平面垂直.两条异面直线所成的角，直线和平面所成的角以及二面角都是通过平面几何中的角来定义的，因而，它们都可以看做是平面几何中角的概念在空间的拓广.两条异面直线的距离，平行的直线与平面间距离以及两个平

4、行平面间的距离，都分别是它们的两点间距离中最小的.(3)第二部分的主要内容是多面体和旋转体中常见的柱、锥、台、球的概念、性质、直观图的画法以及面积、体积的计算，重点研究了应用比较广泛的直棱柱、正棱锥、正棱台、圆柱、圆锥、圆台、球和球缺.这些几何体的性质都是在第一部分线面关系的基础上由定义推出来的.这些性质包括：棱，面的性质；平行于底面的截面的性质；经过侧棱 (或高线、轴线)的截面的性质.通过这样的研究，我们对这些几何体就有了一个比较全面的认识.几种多面体和旋转体的表面积，除球面和球冠外，都是通过它们的展开图求得的，这些公式不但互相区别，而且互相联系.直棱柱、正棱锥、正棱台、圆柱、圆锥、圆台的侧

5、面公式可以统一写成：0SC l0式中，是中截面周长；分别是侧棱、斜高或母线长.Cl四、本章关键词四、本章关键词多面体旋转体球面、球冠、球带的面积，可以统一写成：2SRh式中，是球的半径；是高(或直径).Rh 几种多面体和旋转体的体积公式是分别把柱体、锥体、台体当做不同的几何体给出的，如果把柱体、锥体当做台体的特殊形式，那么它们，甚至包括球体的体积公式，都可以统一写成：01(4)6VH SSS0式中，是上、下底面积；是中截面面积；是高.SSSH(二二)常见问题分类及解法常见问题分类及解法一、直线与直线位置关系一、直线与直线位置关系问题 1 求证两直线平行.思路：两直线平行于同一直线；两直线垂直于

6、同一平面.问题 2 求两异面直线夹角(含垂直).思路：平移至同一平面；三垂线定理.问题 3 求异面直线距离.思路：找公垂线.解解图 7-1 例 1 图形EDCBA60 如图 7-1 所示，正方形 所在平面与正方形 所在平面成 的二面角，求异面直线 与 所成的余弦角.ABCDABEFADBF例例1 1由题设 及 都是正方形.ABCDABEFF所以，.CBABEBAB60所以，CBE连接，CE60则由，知 为正三角形.BCBECBEBEC1设正方形边长为.1则，ECBC连接，CF因为，BCAD 所以 就是异面直线 与 所成角.CBFADBF因为 平面，ABCBEFEAB所以 平面.EFCBE所以，

7、FECE22122 所以在 中，.CBFBCBFCFCEEF2cos4由余弦定理知.CBF*如图 7-2 所示，已知正四面体 的棱长为，、分别为、的中点，(1)求证：是 和 的公垂线；(2)求：和 间距离.ABCDaEFABCDEFABCDABCD例例2 2图 7-2 例 2 图形EDCBAF解解(1)连接、.AFBF因为 是正四面体，ABCD所以 与 都是正三角形.ADCBDC因为 为 中点，FDC所以.AFBF又因为 为 中点，EAB所以.EFAB同理.EFDC又因为，EABFDC所以 为 与 的公垂线.EFABCD3t22(2)在 中，aRBFEBFaBE22所以.EFa22即 与 间的

8、距离为.ABCDa111111 如图 7-3 所示，正方体 中，为异面直线 与 的公垂线.求证：.ABCDABC DEFACADEFBD例例3 3图 7-3 例 3 图形EDCBAF1 D1 C1 B1 A解解111连接、.BDBCABBD1111因为 为正方体，ABCDABC D1所以 底面，且 为正方形.DDABCDABCD1所以，为 在平面 上的射影.BDACBDBDABCD1所以.BDAC11 同理.BDAB11所以 平面.BDABC111又因为，为 与 的公垂线.ADBCEFADAC1所以，EFACEFBC1所以 平面，EFABC1所以.EFBD二、平面与平面位置关系二、平面与平面位

9、置关系问题 1 求两平面夹角(含垂直).思路：利用二面角的平面角；一平面过垂直于另一平面的直线.问题 2 求证两平面平行.思路：两平面垂直于同一直线；一平面过和另一平面平行的两条相交直线.问题 3 平行平面间距离(含点到平面的距离).思路：在一平面上取一点，过该点做另一平面的垂线段.coscos1 cos 如图 7-4 所示，在平面 内，点 平面，.，且，又设 中点为，在 影为，在 上射影为，求证：平面平面.ABCPPAPBPCBPCAPCAPBPAMPOOACNOMNPBC 例例4 4图 7-4 例 4 图形MPCBANO设 PAPBPCa解解coscos1 cos因为，所以由余弦定理得22

10、22222222aBCaACaa222212aABa 222所以.ACBCAB 为直角三角形.ABC又因为，PAPBPC所以 为 的外心，为 的中点.OABCOAB因为 为 的中点，MAP所以，MOPB所以 平面.MOPBC又因为，ONACBCAC所以，ONBC所以 平面.ONPBC又 与 相交.ONMO所以平面平面.MONPBC 如图 7-5 所示，过正方形 的顶点 做 平面，设.求平面 与平面 的夹角.ABCDAPAABCDPAPBaPBCPDC例例5 5图 7-5 例 5 图形.EDCBAP解解连接，.ACBD因为 平面，PAABCDBDAC所以由三垂线定理知.BDPC做 于，连接.BE

11、PCEED因为，为 在平面 上射影.ACBDACPCABCD所以，平面.PCBDPCBED所以.DEPC所以 为二面角-的平面角.BEDB PC Dt在 中，由.RPABPAABa2所以.PBa因为 平面，PAABCDBCAB所以.BCPB223所以，PCPBBCa63 PBBCBEaPC63同理可得：.DEa在 中，由余弦定理得BDE2221cos22 BEDEBDBEDBEDE 120所以.BED120所以平面 与平面 夹角为.PBCPDC1111111111111245 如图 7-6 所示，已知三棱柱-的底面是边长为 的正三角形，侧棱 与、均成，且 于，于.(1)求证：平面平面；(2)求

12、点 到平面 的距离.ABC ABCAAABACAEBBEAFCCFAEFB BCCAB BCC例例6 6解解图 7-6 例 6 图形EDCBAF1 D1 C1 B1 AM111(1)因为-为三棱柱，ABC ABC111所以.BBAACC1111因为 于，于，AEBBEAFCCF1111所以，.AEAAAFAA111又因为，AEAFA1111所以 平面，平面.AAAEFBBAEF111所以平面平面；B BCCAEF11(2)因为，AABB111所以 平面.AABBC C11111所以点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离.ABBC CABBC C11111145因为，AB BA ABA ACA

13、C C 1111所以.ABAC111111902又，AEBAFCAB 1111tt所以.R AB ER AC F11112,.AEAFB EC F2221111112所以 ，B E C FEFBCAEAFEF1所以 为等腰直角三角形.AEF1取 的中点，连接，EFNAN1则.ANEF111所以 平面.ANBBC C1111所以 为点 到平面 的距离.ANABBC C1112又.ANEF1111111所以 点到平面 的距离为，故 点到平面 的距离为.AB BCCAB BCC三、直线与平面的位置关系三、直线与平面的位置关系问题 1 求证直线平行于平面.思路：直线垂直于和平面垂直的直线；直线平行于平

14、面内一直线.问题 2 求直线和平面的夹角(含直线和平面垂直).思路：做出直线和平面的夹角；直线平行于和平面垂直的 直线；直线垂直于平面内两相交直线.*如图 7-7 所示，正棱锥-的各棱长都等于，、都为所在棱的中点.求 与底面 所成角的大小.P ABCaMNBNABC例例7 7图 7-7 例 7 图形NDCBAPMH解解 在平面 内做 于，连接.PMCNHCMHBH因为 平面，ABPMC所以.ABNH所以 平面.NHABC 为 与底面 所成角.NBHBNABC22因为，MNa66 .MNCNNHaCM2sin3所以.NHNBHBN2arcsin3.NBH2arcsin3所以 与底面 所成角为.B

15、NABC11111 已知斜棱柱-，为 中点，求证：截面.ABC ABCDABACBCD例例8 8图 7-8 例 8 图形EDCBA1 C1 B1 A证明证明11 如图 7-8 所示，连接，交 于.BCBCE因为三棱柱侧面为平行四边形，1所以 为 中点.EBC因为 为 中点，DAB1所以 为 的中位线，EDABC1所以.ACED1而 截面.EDBCD11所以 截面.ACBCD 本题是通过直线平行于平面内一直线而证出直线平行于平面.需要注意的是，平面内的直线可能是现成的，多数时候是需要我们造出来的.作出有关三角形的中位线是常用的方法.研究多面体、旋转体常会遇到两类问题.一是以多面体、旋转体为载体研

16、究空间的点、线、面的位置关系及数量关系，这在前面的例题中已有体现.二是研究多面体、旋转体自身的问题，如体积、表面积、侧面积，截面形状、面积以及多面体、旋转体中元素间位置关系及数量关系.上述两类问题，都需要我们熟练掌握有关几何体的性质、公式.另外，能看懂图，会画图，能画截面图这些能力也是应该具备的，这就需要多看、多练，时间长了，能力就积累出来了.四、求几何体的体积四、求几何体的体积根据题目条件求出体积公式中各个量，然后算出体积.如图 7-9 所示，已知长方体对角线的长是，对角线和底面所成的角是，底面两条对角线的夹角是，求长方体的体积.例例9 9图 7-9 例 9 图形ODCBA1 D1 C1 B1 A解解cos因为 BDAC1cos2所以，.BOAO21cossin22所以，AOBS221cossin81sin因为，A A14所以 AOBVSA A2214cossinsin8 221sincossin21260 圆台的母线长为，它和下底面的夹角是，轴截面的对角线互相垂直，求圆台的体积.例例1010图 7-10 例 10 图形OKHBA1 O1 B1 A解解1111260图 7-10