《数学物理方法》课件第5章.ppt

1、1 1第5章 积分变换法5.1 傅里叶变换傅里叶变换5.2 傅里叶变换法傅里叶变换法5.3 拉普拉斯变换拉普拉斯变换5.4 拉普拉斯变换的应用拉普拉斯变换的应用5.5 本章小结本章小结习题习题52 2积分变换法是求解数学物理方程定解问题的常用方法之一。积分变换就是把某函数类A中的函数f(x)经过某种可逆的积分手段(5.1),dF pk x p fxx3 3变换成另一函数类B中的函数F(p)。我们把F(p)变换称为f(x)的像函数，f(x)称为原像函数，而k(x，p)是p和x的已知函数，称为积分变换的核。经过这种变换，原来的偏微分方程可以减少自变量的个数，直至成为常微分方程；而原来的常微分方程可

2、以变成代数方程，从而使在函数类B中的运算简化。找出在B中的一个解，再经过逆变换，便得到原来要在A中所求的解，而且是显式解。积分变换有很多种类，如傅里叶变换、拉普拉斯变换、汉克尔变换以及梅林变换等。本章将介绍常用的傅里叶变换和拉普拉斯变换。4 45.1.1 傅里叶积分傅里叶积分通过高等数学的知识，我们知道，如果一个以2l为周期的周期函数fl(x)满足狄利克莱条件，即函数在区间l，l上，连续或只有有限个第一类间断点，并且只有有限个极值点，那么在区间l，l上就可以展开为傅里叶级数。傅里叶级数展开式的复数形式为(5.2)5.1 傅里叶变换傅里叶变换 ienxlnnfxc5 5其中，所以我们把fl(x)

3、可表示为(5.3)i1,ed2nlnnlncfll ii1ee2nnlxllnfxfdl 6 6 我们可以看到，以2l为周期的函数，在自变量增长的过程中，函数值有规律的重复，自变量每增长一个周期2l，函数就重复变化一次。其中，参数n不连续地跳跃地取下列的值其跃变间隔为(5.4)22.,.,0,.,.nnllllllnl7 7 对于非周期函数而言，无法直接展开成傅里叶级数。但是我们可以这样考虑，把一个非周期函数f(x)看成是某个周期函数fl(x)在周期2l时转化而来的。此时n/l0，这表明n变为不再跃变，而是连续变化的。具体做法为(5.5)iiii01limede21limede2nnnnnlx

4、ltnxnnf xflf 8 8即(5.6)式(5.6)即为函数f(x)的傅里叶积分公式。实际上，傅里叶积分公式的成立必须满足下述傅里叶积分定理：设f(x)在(，)上有定义，且(1)在任意一有限区间上满足狄利克莱条件；ii1eded2xf xf9 9(2)在无限区间(，)上绝对可积：(5.7)则傅里叶积分公式(5.8)在f(x)的连续点x处成立，而在f(x)的第一类间断点x0处，右边的积分应该用来代替。|df xx ii1eded2xfxf001002fxfx10 10类似地，我们可以写出三维形式的傅里叶积分公式(5.9)1231233ii123,1,eddd2exyzf x y zfddd

5、11 115.1.2 傅里叶变换傅里叶变换在傅里叶积分公式(式(5.6)中，令(5.10)则(5.11)可见，函数f(x)和函数G()可以通过积分互相表达。我们称式(5.10)为函数f(x)的傅里叶变换，记作 iedxGf xx i1ed2xfxG12 12(5.12)G()又称为f(x)的像函数；而称式(5.11)为函数G()的傅里叶逆变换，记作(5.13)f(x)又称为G()的原像函数。因此，当f(x)满足傅里叶积分定理的时候，傅里叶积分公式就可以写成(5.14)i()()edxF f xGf xx 1i1ed2xFGfxG 1f xFFf x13 13这是傅里叶变换和傅里叶逆变换之间的一

6、个重要关系。同样，我们在三维傅里叶积分公式(式(5.9)的基础上可以引入三维傅里叶变换的定义。记作：(5.15)112233123123(,)dd dd;ddddxyzff x y zrxyzeeereeer14 14 则式(5.9)可变为(5.16)令(5.17)则(5.18)i123i31,eddded(2)ff rr iedrGfrr ir31ed(2)fGr15 15 我们称式(5.17)为三维函数f(r)的傅里叶变换，记作(5.19)G()又称为f(r)的像函数。而称式(5.18)为三维函数G()的傅里叶逆变换，记作(5.20)f(r)又称为G()的原像函数。1iedrFfGfrrr

7、 1i31ed(2)rFGfGr16 16例例5.1 指数衰减函数是无线电技术中常用的一个函数，求它的傅里叶变换和积分表达式。其中，b0。解：解：由定义式(式(5.12)有(5.21)0,0,0ttf tetb iii2200()()edeededttttF f tGf ttittbbbb17 17而由逆变换定义式(式(5.13)，有(5.22)ii22222201ed21 ed21cossind21cossin dttf tGittttbbbbbb18 18由此，我们还得到一个含参变量t的积分式(5.23)2200,0cossin,02e,0ttttdf tttbbb 19 195.1.3

8、傅里叶变换的物理意义傅里叶变换的物理意义G()为f(x)的频率密度函数或频谱函数，它可用来反映各种频率谐波之间振幅的相对大小，并称|G()|为f(x)的频谱。因为是连续变化的，所以f(x)的频谱是连续谱。而(5.24)可以解释为无穷多个振幅(复振幅)为无限小的，频率为连续的谐波的连续和。i1ed2xfxG20205.1.4 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质为了叙述方便，当在讨论问题的过程中涉及到某一函数需要对它进行傅里叶变换时，都假定这个函数满足傅里叶变换的条件。1.线性性质线性性质若a、b为任意常数，则对任意函数f1和f2有Faf1bf2aFf1bFf2(5.25)证明可以由定义推出。可见傅

9、里叶变换是一种线性变换。21 212.位移性质位移性质设x0为任意常数，则(5.26)证明 由定义知(5.27)0000i00ii()00iiied eed()eed e xxx xxxxFf xxf xxxf xxxxf xxFf x 0i0exFfxxFfx2222 它表明函数f(x)沿x轴位移x0，相当于它的傅里叶变换乘以因子。0iex23233.延迟性质延迟性质设0为任意常数，则(5.28)证明 由定义有(5.29)0i0exFfxG 000iiii0eeed ed xxxxFf xf xxf xxG 24244.相似性质相似性质设a是不为零的常数，则(5.30)证明 令axx，则当a

10、0时，有(5.31)1|Ff axGaaiieded1 xxaxFf axf axxf xaGaa2525而当a|，则无论0或0，a0，所以由上式有(5.51)因此有(5.52)00sinsindd2axaxxxxxsin22axFx 4040 (2)若a|，则(5.53)故有(5.54),(0),(0)aa0,0)2,0)2,0)0,0)aaaa(41 41从而得到(5.55)(5.56)00,(0)sind,(0)2axxx0sin,(0)d20,(0)axxx4242则得(5.57)(3)若a0时，a0，故有(5.58)sin2axFx00sind2sind2axxxaxxx 4343从

11、而得到(5.59)当0，a0，于是有(5.60)sin022axFx 00sind2sind2axxxaxxx 4444从而得到(5.61)综合以上(1)、(2)、(3)三种情况可得：(5.62)sin0axFx,()sin,()20,()aaxFf xFaxa4545 例例5.3 求函数的傅里叶变换。解：解：因为f(x)在|x|0时杆上的温度分布规律。解：解：此问题可归结为求下列定解问题(5.94)20,0|txxtua uf x txtux 6666对定解问题进行傅里叶变换(5.95)得常微分方程的定解问题(5.96),F u x tUtFxFf x tFt 22,0Ua UtFtU 67

12、67 解上述问题得到(5.97)利用傅里叶变换的性质7卷积定理以及已知的变换关系(5.98)22220,e,edtata tUtF 2222141ee2xa ta tFat6868最后得到定解问题的解为(5.99)22224401,ed2,1ded2xa txtatu x tatfat 69695.2.3 稳定场问题稳定场问题例例5.8 求解真空中静电势满足方程(5.100)解：解：上述方程可以写成(5.101)01,u x y zx y z 01u rr7070为方便起见，我们令，记Fu(r)U()，Ff(r)F()，对方程进行傅里叶变换得到(5.102)利用变换公式(5.103)01frr

13、 21UF214Fr 71 71有(5.104)所以由卷积定理得到(5.105)114|F uFFfrrr 1d4|furrrrr7272 例例5.9 求解定解问题(5.106)解：解：对于变量x作傅里叶变换，有Fu(x，y)U(，y)Ff(x)F()(5.107)定解问题变换为常微分方程 00,0|lim,0 xxyytxuuxyuf xu x y 7373(5.108)(5.109)因为可取正、负值，所以常微分定解问题的通解为(5.110)222,0UUyy,0lim,0UFUy ,yyU x yCeDe7474因为，故得到C()0D()F()(5.111)常微分方程的解为(5.112),

14、yUyFelim,0Uy7575 设G(，y)e|y，根据傅里叶变换定义，e|y的傅里叶逆变换为 (5.113)i0ii0221eed21edd21112iiyxyxyxeyyxyxxy7676再借助卷积定理就得到原定解问题的解为(5.114)22,dfyu x yxy7777 通过上面的例题可见，用傅里叶变换法解定解问题的特点是，不受方程类型的限制，主要用于无界域。一般的解题步骤为：(1)对方程和初始条件，关于空间变量进行傅里叶变换，由傅里叶变换的微分性质，利用边界条件得到常微分方程的定解问题。(2)解常微分方程的定解问题。(3)进行傅里叶逆变换，对热传导方程用卷积定理，对波动方程和拉普拉斯

15、方程则根据逆变换的定义处理。7878通过上一节的内容我们可以知道，用傅里叶变换解微分方程时，要求所出现的函数必须在(，)上满足绝对可积的条件。但实际上，许多函数即使是很简单的函数(如单位函数、常数、正弦函数、余弦函数以及线性函数等)都不满足这个条件。另一方面，傅里叶变换还要求进行变换的函数在(，)都有定义，但在物理、无线电等实际应用中，许多以时间作为自变量的函数往往在t0时是无意义或不需要考虑的。像这样的函数就不能对时间变量t作傅里叶变换。为了克服傅里叶变换的这些缺点，人们适当地改造了傅里叶变换，从而得到了拉普拉斯变换。5.3 拉普拉斯变换拉普拉斯变换79795.3.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变

16、换设函数f(t)满足下列拉普拉斯变换条件：(1)当t0时，f(t)及f(t)除去有限个第一类间断点，处处连续；(3)当t时，f(t)的增长速度不超过某个指数函数，即存在常数M及s00，使得(5.115)其中，s0称为f(t)的增长指数。在这里，称 0|,0tf tMets 8080(5.116)其中，psi，为函数f(t)的拉普拉斯变换，而称(5.117)为复变函数F(p)的逆拉普拉斯变换。F(p)为f(t)的像函数，f(t)为F(p)的原像函数。显然L1Lff(5.118)0edptF pL f tf tt 11ed2iptif tLF pF ppiss 81 815.3.2 拉普拉斯变换的基本定理拉普拉斯变换的基本定理拉普拉斯变换的存在条件由拉普拉斯的存在定理给出。定理1(拉普拉斯存在定理)设函数f(t)满足拉普拉斯变换条件，则由式(5.116)所定义的f(t)的拉普拉斯变换F(p)在半平面Re ps s0上存在且解析，且当 (d是任意小的正数)时，有(5.119)|arg|2pd lim0pF p8282 证明 因为(5.120)所以，积分式(5.116)绝对收敛，从而F(p)在