《工程力学》课件第2章.ppt

1、第第2章章 平面力系的简化和平衡平面力系的简化和平衡 2.1 工程中的平面力系工程中的平面力系2.2 平面汇交力系的简化与平衡平面汇交力系的简化与平衡2.3 平面力偶系的简化与平衡平面力偶系的简化与平衡2.4 平面任意力系的简化与平衡平面任意力系的简化与平衡2.5 简单平面桁架的内力计算简单平面桁架的内力计算2.6 考虑摩擦时物体的平衡问题考虑摩擦时物体的平衡问题2.1 工程中的平面力系工程中的平面力系在工程问题中，若力系中各力的作用线位于同一平面内，即称该力系为平面力系。如果平面力系中各力的作用线汇交于同一点，称其为平面汇交力系；如果力系中各力的作用线平行，称其为平面平行力系；如果平面力系是

2、由若干对等值、反向、但不共线的两个力所构成的，则该力系称为平面力偶系。这三种力系一般统称为平面特殊力系，或平面简单力系。而不具有这些特殊性的平面力系称之为平面任意力系。平面力系是工程中最常见的一种力系，很多实际的力学问题都可以简化为平面力系。(1)许多工程结构和机构，其厚度远小于长度和宽度，其构件轴线都位于垂直厚度方向的同一平面内，所以称之为平面结构和平面机构。作用于平面结构和平面机构上各力的作用线，一般都在这一平面内而构成平面力系。例如图2.1 所示的屋架是一个平面桁架，作用在桁架上的力有载荷Q，风压力P和支座约束反力XA、YA和NB，这些力的作用线都位于桁架平面内，构成一个平面力系。图2.

3、1(2)有些结构本身虽然不是平面结构，所受的力系也不是平面力系，但其结构和力系却具有同一个对称平面，那么该力系就可以对称地平移到其对称面内，简化为该对称面内的平面力系。例如图 2.2 所示的沿直线行驶的汽车，在其载荷均匀分布的情况下，汽车受重力W，空气阻力T，地面对两前轮子反力的合力RA和对后两轮子反力的合力RB，它们都可以简化到汽车的纵向对称平面内，构成一个平面力系。图2.22.2 平面汇交力系的简化与平衡平面汇交力系的简化与平衡平面汇交力系属于比较简单的力系，其主要特点是力系中各力作用线汇交于同一点。这种力系的工程实例很多，如图2.3所示的绳索，图2.4所示的桁架接头等，其所受的力系都是平

4、面汇交力系。图2.3 图2.41 平面汇交力系的简化合成平面汇交力系的简化合成(1)几何法：力的多边形法则。设刚体受一个汇交力系作用，汇交点为O，如图2.5(a)所示。根据力合成的平行四边形法则，如图2.5(b)所示，可将这些力依次合成，最后可求出此力系的合力R。图2.5为了更简便起见，根据平行四边形对边平行且相等的几何特性，可只画平行四边形的一半，这样平行四边形法则便演变为三角形法则。再省去前面三角形的封闭边后，三角形法则又演变成力合成的多边形法则。其示意图如图2.5(c)所示。力的多边形法则可以简单地概括为：平移力系中各力的作用线，让各力线首尾相接，最后从第一个力线的始端向最后一个力线终端

5、画一条有向线段，该有向线段便表示了力系的合力矢量R。几何法给出的结论是：平面汇交力系合成的结果为一合力，合力作用线通过各分力的汇交点，合力的大小和方向等于力系各分力的矢量和。这一关系可以用矢量式表示为niiR1F(2.1)(2)解析法：合力投影定理。几何法是直接利用力矢量的几何性质来确定合力和各分力之间的关系的。其优势是直观简明；而其不足之处是合成精度不便控制。所以，工程计算中更常用的是解析法合成。所谓解析法，就是用力矢量在选定坐标轴上的投影，来表示合力与各分力之间关系的方法，所以也称为投影法或合力投影定理。下面我们仍以图2.5(a)给出的力系为例，介绍解析法的合成过程。以图2.5(a)所示力

6、系的汇交点 O 为坐标原点建立参考直角坐标系，将各分力和合力 R 分别向坐标轴投影，然后求这些投影之间的关系，其示意图如图2.5(d)所示。由图2.5(d)可知：321XXXRx321XXX31iiX同理可得：31iiyYR即 niiyniixYRXR11（2.2）式(2.2)称为合力投影定理，可表述为力系合力在某轴上的投影等于力系各分力在该轴上投影的代数和。根据合力在直角坐标轴上的投影可求出合力 R 的大小和方向余弦为RRRRYXRRRyxyxcos;cos)()(2222其中：、分别为合力 R 与 x 轴、y 轴的夹角。（2.3）2.平面汇交力系的平衡条件平面汇交力系的平衡条件由汇交力系的

7、简化结果可知，汇交力系对刚体的作用与它们的合力 R 的作用是等效的。那么，根据静力学公理中的二力平衡原理可知，只有该合力 R 的两个分力等值、反向、共线、合力为零时，力系才能够平衡。因此，平面汇交力系平衡的必要与充分条件为：力系合力 R 等于零，即该式可称为力系平衡条件的矢量形式。01niiFR（2.4）除该矢量形式外，平衡条件还有几何形式和解析式两种形式。(1)几何形式。按力多边形法则，合力等于零表明力多边形中第一个力矢量的起点与最后一个力矢量的终点是重合的。所以，汇交力系平衡的必要且充分条件是力多边形自行封闭。(2)解析式。根据解析法合成的结果，合力，显然要使R等于零，则Rx、Ry必须分别

8、等于零。所以，汇交力系平衡条件的必要且充分条件的解析形式为2222)()(YXRRRyxniiyniixYRXR1100(2.5)式(2.5)即为平面汇交力系的平衡方程，是力系平衡的必要且充分条件。根据其充分性，当力系各力已知时，可用它判断受力刚体是否平衡；根据其必要性，当刚体处于平衡状态、但其所受的力系中有未知力时，可用它来求解未知力。其主要的工程应用是后者。【例2.1】如图2.6所示半圆形三角拱ABC，半径为a，拱自重不计，在右拱BC的a/2处，作用一个铅直向下的力P。试求A、B、C三铰的约束反力。图2.6解解 先取左半边的拱AC为研究对象(包括销钉C)。左半边的拱AC在C处的销钉受到右半

9、边的拱BC的作用力RC；在A处受到固定铰支座的约束反力RA的作用。由于左半边的拱AC只受两力作用而平衡，为二力构件，故此二力(RC和RA)的作用线必沿A、C两点连线，且等值、反向，假设其指向如图2.6(b)所示。再取右半边的拱BC(不包括销钉C)为研究对象。作用在右半边的拱BC上的力有：主动力P；铰支座B的约束反力RB；销钉C对右半边的拱BC的约束反力，与RC互为作用力与反作用力的关系，即的作用线也沿A、C两点连线。铰支座B的约束力RB的方向不能确定，但因右半边的拱BC只受三力作用而平衡，由三力平衡定理可知此三力的作用线必交于一点，而其中力 P 与力的作用线交于O点，故力RB的作用线必沿B、O

10、两点连线，如图2.6(c)所示。CRCRCRCRCR作图时，按力比例尺画出闭合的力三角形abc，如图2.6(d)所示。RB与的指向应按各分力矢必须首尾相接的规则来确定，其大小用同一力比例尺从图2.6(d)上量得：RB=0.781P=0.354PRB与的大小也可由力三角形abc通过计算而得到，由图2.6(d)应用正弦定理得：CRCR45180sinsin45sinPRRCB(a)从图2.6(c)中ODB可得10121021sinaaOBDB从图2.6(c)中OCB可得)45(180sina52108210245sinaaOBCBa52108210245sinaaOBCBa将这些值代入(a)式解得

11、：PPPaRB791.041045sin45sinPPPaaRC354.04245sinsin则固定铰支座A约束反力的大小为RA=RC=0.354P指向如图2.6(b)所示。CR【例例2.2】简易起重机如图2.7所示，起吊钢丝绳绕过定滑轮B，通过绞车把重物吊起。物重Q=3000 N，A、B、C三处均为铰接连接，不计各杆的自重和滑轮B的尺寸。求AB和BC两杆所受的力，并指明为拉力还是压力。图2.7解解 (1)选取研究对象。取定滑轮B连同销钉一起为研究对象。(2)画受力图。定滑轮受到钢丝绳的拉力T1和T2，而T1=T2=Q=3000 N；因AB、BC两杆都是二力杆，则作用在销钉B上的力分别沿杆的轴

12、线，以和表示，指向可假设。其受力图如图2.7(b)所示。(3)选取坐标轴，列出平衡方程求解。选坐标轴Bxy，如图2.7(b)所示，坐标轴应尽量与未知力垂直，这样可以避免解联立方程。列平面汇交力系平衡方程，即BNBTBN，0X040cos30cos2BBNTT,0Y040sin30sin21BNTT(a)(b)由式(b)解得N 700040sin30sin140sin30sin21QTTNB将代入式（a）解得=cos40T2 cos30=70000.766630000.8662760 N与均为正值，表明假设的指向与实际指向是一致的。BNBTBNBT(4)画杆CB、AB的受力图。根据作用力与反作用

13、力的关系，杆CB与AB的受力图如图2.7(c)、(d)所示。CB杆受拉力，拉力的大小为TB=2760 N；AB杆受压力，压力的大小为NB=7000 N。【例例2.3】两根直径均为D的圆钢，每根重P=2 kN，搁置在槽内，如图2.8(a)所示。忽略圆钢与槽之间的摩擦，求A、B、C三处的约束力。BTBN图2.8解解 根据题意，首先选取研究对象。若以二圆钢组成的系统为研究对象，则受力图如图2.8(b)所示，此力系不是平面汇交力系，而是平面一般力系，这将在下一章讨论。若首先以圆钢为研究对象，受力图如图2.8(c)所示，此力系为平面汇交力系，但有三个未知力，而平面汇交力系只能提供两个独立的平衡方程，无法

14、求解全部未知力。以圆钢为研究对象，其受力图如图2.8(d)所示，重力P为主动力，NC为槽壁上的约束力，ND为圆钢给圆钢的约束力。因为是光滑约束面，故根据约束性质，NC和ND分别通过圆钢与槽壁及圆钢之间的切点指向圆心。可见圆钢受力为平面汇交力系，只有两个未知数，故可用平衡方程求得。在三力作用线的交点O2处，建立直角坐标系O2XY，如图2.8(e)所示，平衡方程为：045cos 0CDNN，X045sin 0PN，YD由此解得:ND=P=2.83 kNNC=NDcos45=P=2 kN2再以圆钢为研究对象，如图2.8(c)所示，与ND互为作用力和反作用力，NA和NB为槽壁给圆钢的约束力，P为主动力

15、。这仍为平面汇交力系的平衡问题，建立直角坐标系O1XY，如图2.8(f)所示，平衡方程为：DN045cos 0DANN，X045sin 0PNN，YDB解得:NA=P=2 kNNB=2P=4 kN通过以上例题的分析，我们把用解析法求解平面汇交力系平衡问题的基本步骤归纳如下：(1)根据题意恰当地选取研究对象。(2)分析研究对象的受力情况，正确地画出受力图。(3)选择投影坐标轴，列出平面汇交力系的平衡方程，求解未知力。要使两个投影方程都能独立求解，两投影轴必须分别与两个未知力正交。所解出的未知力的正、负号，是相对于受力图而言的，正的表示其实际方向与受力图中所画的方向是一致的；负的表示其实际方向与受

16、力图中所画的方向相反。2.3 平面力偶系的简化与平衡平面力偶系的简化与平衡1.力偶与力偶的基本性质力偶与力偶的基本性质定义两个大小都等于F、方向相反、作用线间距 d 不为零的力所构成的特殊力系为力偶，用符号(F、F)表示，如图2.9所示。其中 d 称为该力偶的力偶臂；F和F所在的平面称为力偶的作用面。力偶具有如下基本性质：(1)力偶只有转动效应、无移动效应。所以力偶不可能与一个力等效或者平衡。图2.9因为力的移动效应只与力的大小、方向有关，与力的作用线无关，而力偶(F、F)中的两个力大小相等、方向相反，它们的移动效应恰好相互抵消。所以，力偶只有转动效应，不可能与存在移动效应的一个力等效或者平衡。(2)力偶对任一点的矩都相等。力偶对任一点的矩都等于力 F 与力偶臂 d 的乘积，定义其为力偶矩，并用 m 表示。如图2.10所示，力(F、F)为任一力偶，O为任一点。根据力对点的矩的定义式有：FBAFOBFOAFmFmmFOBFOBFmFOAFmOOOO)()()()(即 M=F d可知，构成力偶的两个力对任意点 O 的矩之和，与 O 点的位置无关，都等于力 F 与力偶臂 d 的乘积。力偶矩矢