《工程力学》课件第4章.ppt

1、4.1 轴力和轴力图轴力和轴力图 4.2 杆件横截面上的正应力杆件横截面上的正应力 4.3 轴向载荷作用下材料的力学性能轴向载荷作用下材料的力学性能 4.4 强度计算强度计算4.5 变形分析与计算变形分析与计算4.6 拉压简单超静定问题拉压简单超静定问题4.7 应力集中的概念应力集中的概念第第4章章 轴向载荷作用下杆件的材料力学问题轴向载荷作用下杆件的材料力学问题 在工程结构和机械中，由于受轴向载荷作用而产生拉伸和压缩变形的构件是很多的，例如，桁架中的杆件，起重机械中的钢缆，用作各种紧固件的螺栓及各种连杆机构中的连杆等。这些构件的共同特点是：作用于杆件上的外力合力的作用线与杆件轴线重合，杆件变

2、形是沿轴线方向的伸长或缩短。若把这些杆件的形状和受力情况进行简化，可得到如图4.1(a)、(b)所示的力学模型，其中实线和虚线分别表示变形前、后的形状。图4.14.1 轴力和轴力图轴力和轴力图1 内力与截面法内力与截面法内力是指物体内部各部分之间相互作用的力。物体在未受外力作用时，其内部各质点之间本来就有力在相互作用。当物体受到外力作用而变形时，其内部各质点之间的相对位置将有变化，与此同时，各质点之间相互作用的力也有所改变。这种原有内力的改变，是物体在外力作用下产生的附加内力。材料力学中讨论和计算的只是这种附加内力，故通常简称其为内力。这种内力既不同于物体中固有的内力，也不同于刚体系统中的内力

3、。前者是分子、原子等基本粒子相互作用产生的内力，后者则是各个刚体相互机械作用产生的内力。变形体的内力则是由宏观变形引起的内力。根据材料的连续性假设，内力在构件内连续分布。通常，首先需研究构件横截面上分布内力的合力。为显示内力并确定其大小和方向，可采用截面法进行分析。欲求构件某处的内力，需用假想截面从该处将构件截成两部分，并将其中任一部分分离出来，在截开的截面上用内力代替另一部分对它的作用。由于整个构件是平衡的，因此它的任何一部分也必然是平衡的。据此，考察截开后任一部分的平衡，由平衡条件即可确定截面上内力的大小和方向。以上所述即为求内力的截面法。2 轴力与轴力图轴力与轴力图现在研究轴向拉、压杆件

4、的内力。考虑图4.2(a)所示的轴向受拉杆件，用 mm 截面将杆件截成、两部分，考察其中任一部分(或)的平衡。由平衡条件可得该截面上分布内力的合力为FN=F其作用线与杆的轴线一致，方向如图4.2(b)、(c)所示。这种轴向内力简称为轴力。对于轴向受压杆件，同样可通过上述过程求得其任一截面上的轴力FN，如图4.3(a)、(b)、(c)所示。图4.2图4.3综上所述，截面法求内力的步骤可归纳如下：(1)截开：在欲求内力处用假想截面将杆件截为两部分。(2)代替：任取其中一部分作为研究对象，并用欲求的内力代替另一部分对它的作用。(3)平衡：考察研究对象的平衡，由静力平衡方程确定横截面上内力的大小和方向

5、。需要指出的是，截面法求内力的实质是考察平衡问题，并且在建立平衡方程时无需考虑物体的变形。内力的正负号依变形情况来规定。对于轴力，规定产生伸长变形者为正，即轴力方向与杆件横截面的外法线方向一致时为正(图4.4(a)；产生缩短变形者为负，即轴力方向与杆件横截面的外法线方向相反时为负(图4.4(b)。轴力的正负号规则可简述为：拉为正，压为负。一般，在计算时一律假设为正轴力，而据计算结果的正负号来确定轴力是拉力还是压力。轴力的量纲为力，在国际单位制中采用的单位是牛顿(N)或千牛(kN)。若沿杆件轴线作用的外力多于2个，则杆件各段的轴力将不尽相同，这时需分段应用截面法确定各段内的轴力。表示轴力沿轴线方

6、向变化的图线称为轴力图。图4.4【例例4.1】图4.5(a)所示杆件在A、C、D三处受力，B处为固定端约束。试求此杆各段的轴力，并绘出轴力图。解解 根据杆件AB所受外力的情况，需分别计算AC、CD、DB段的轴力。AC段：假想用11截面将杆截开，取左段为研究对象，设其上轴力为正方向，受力图如图4.5(b)所示。由静力平衡条件：0 01FF，XN解得AC段的轴力为 FN1=F(拉力)CD段：假想用22截面将杆截开，取左段为研究对象，设其上轴力为正方向，受力图如图4.5(c)所示。由静力平衡条件：X=0，FN2+3FF=0解得 CD 段的轴力为 FN2=2F (压力)DB段：类似地，假想用33截面将

7、杆截开，取左段为研究对象，设其上轴力为正方向，受力图如图4.5(d)所示。由静力平衡条件：X=0，FN3+2F+3FF=0解得 DB 段的轴力为FN3=4F (压力)根据上述轴力计算结果可绘制轴力图。首先建立FNx坐标，其中 x 沿杆轴线方向，FN为轴力。将轴力计算结果标于 F=x 坐标中，便得到该杆的轴力图(图4.5(e)。需要指出的是，杆各段的轴力也可取截面右段为研究对象来分析，这时需考察整个杆的平衡，由静力平衡条件来确定B处的约束力。读者不妨一试。图4.54.2 杆件横截面上的正应力杆件横截面上的正应力1 应力应力由截面法可以确定杆件横截面上分布内力系的合力。这一结果可以说明截面上的内力

8、与外力的平衡关系，但不能反映分布内力系在截面上某一点处的强弱程度。为此，引入一个新的物理量应力，以度量横截面上分布内力的集度。图4.6(a)所示为从任意受力构件中取出的分离体，截面 mm 上作用有连续分布的内力。围绕任一点 C 取微小面积A，A上作用的内力设为F，F的大小和方向与 C 点的位置和A的大小有关。F与A的比值为 AFpm(4.1a)图4.6 pm是一个矢量，代表微面积A上分布内力的平均集度，称为平均应力。随着A的逐渐缩小，pm的大小和方向都将逐渐变化。当A趋于零时，pm的大小和方向都将趋于一定的极限。这样得到(4.1b)AFppAmAlimlim00p称为mm截面上C点的应力(又称

9、为全应力)，它是分布内力系在C点的集度，反映内力系在C点的强弱程度。通常将 p 分解为两个分量，如图4.6(b)所示。其中,与截面垂直的分量称为正应力，用符号表示；切于截面的分量称为切应力，用符号表示。三者之间的关系为=p cos (4.1(c)=p sin (4.1(d)应力的量纲为力/长度2，国际制单位为 Pa(N/m2)或MPa(N/mm2)。2.拉、压杆横截面上的正应力拉、压杆横截面上的正应力现在研究轴向拉、压杆件横截面上的应力。首先观察拉(压)杆的变形情况。图4.7所示等截面直杆受轴向拉力作用。变形前，在等直杆的侧面上画垂直于杆轴的直线 ab 和cd。拉伸变形后，发现 ab 和 cd

10、 仍为直线，且仍然垂直于轴线，只是分别平行地移至ab和cd。根据这一现象，可以假设：变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面且仍垂直于轴线。这就是平面假设。由此可以推断，拉杆所有纵向纤维的伸长是相等的，即轴向变形均匀分布。因材料是均匀连续的，所以所有纵向纤维的力学性能相同。由它们的变形相同和力学性能相同，可以推想各纵向纤维的受力是一样的。据以上分析可以推知，在横截面上将只有沿轴向的正应力，并在整个横截面上均匀分布。于是，有AAFdA N AFN式(4.2)同样适用于轴向受压的情况。该式即为计算轴向拉、压等截面直杆横截面上正应力的公式。其中，FN为轴力，A为横截面面积。正应力的正负号规则与轴力

11、一致，即拉应力为正，压应力为负。图4.7除等直杆外，轴向拉、压小锥度直杆横截面上的应力也可按公式(4.2)计算。需要指出的是，当作用在杆件上的外力沿横截面均匀分布时，杆横截面上的应力将均匀分布，公式(4.2)适用。而当作用在杆件上的外力沿横截面非均匀分布时，外力作用点附近横截面上的应力也是非均匀分布的，则相应区域横截面上的应力不能用公式(4.2)计算。但是，大量理论计算和实验研究均表明：如果杆端的两种外加载荷静力等效，则杆端部以外区域的应力差异甚微。这一论断就是著名的“圣维南原理”。在工程常规设计和计算中，一般不考虑端部加载方式的影响。对于拉、压杆，只要外力合力的作用线沿杆轴线方向，即可应用式

12、(4.2)计算横截面上的应力。【例例4.2】图4.8(a)为一悬臂吊车的简图，斜杆AB为直径 d=20 mm的钢杆，载荷 W=15 kN。当 W 移到 A 点时，求斜杆横截面上的应力。解解 斜杆AB为轴向受拉杆件。当载荷 W 移到 A 点时，杆 AB 受到的拉力最大(图4.8(b)，设其值为Fmax。根据横梁(图4.8(c)的平衡方程mC=0,得maxsin0FACWACmaxsinWF图4.8由ABC求出:388.09.18.08.0sin22ABBC故有kN 7.38388.015sinmaxWF斜杆 AB 的轴力为 FN=Fmax=38.7 kN由此求得 AB 杆横截面上的应力为 MPa

13、123 Pa10123)1020(4107.386233NAF4.3 轴向载荷作用下材料的力学性能轴向载荷作用下材料的力学性能1.材料拉伸时的力学性能材料拉伸时的力学性能1)低碳钢的拉伸试验及其力学性能拉伸试验一般是将试件装在万能试验机上进行的。为了便于比较不同材料的试验结果，应按国家规定，将材料做成标准试件。对于金属材料，通常采用圆柱形试件，其形状如图4.9所示。试件中部一段为等截面，在该段中标出长度为 L 的一段，称为工作段，试验时测量工作段的变形量。工作段长度 L(称标距)与试件横截面尺寸有规定的比例，例如对圆截面标准试件，通常规定 L=5d 或 L=10d。图4.9试验时，将试件两端安

14、装在试验机的夹具中，然后缓慢加载，试件逐渐伸长，直至拉断为止。载荷可由试验机上读出，伸长量可通过测量变形的引伸仪量得。在试验过程中，记下一系列载荷 F 的数值和与它对应的工作段的伸长量L值。以L为横坐标、F为纵坐标，可画出 FL曲线，此曲线称为试件的拉伸图。多数万能试验机上附有自动绘图设备，可自动绘出FL曲线。图4.10为低碳钢试件的拉伸图。图4.10试件的拉伸图中，F与L的对应关系与试件尺寸有关，例如，如果标距 L 不同，则同一载荷引起的伸长量L也将不同，因而 FL图不能反映材料的力学性能。为了消除试件尺寸的影响，常按照工作段的原始尺寸L、A，以F/A=作为纵坐标、L/L=作为横坐标，将FL

15、曲线改画为曲线。这样得到的曲线与试件的尺寸无关，而只反映材料本身的力学性能。此曲线称为应力应变曲线。由于A及L均为常数，故曲线应与FL曲线相似，只是后者纵、横坐标的比例尺与前者的有所不同。低碳钢拉伸时的曲线如图4.11所示。图4.11由低碳钢的FL曲线和曲线可以看出，整个加载和变形过程呈现四个阶段。下面从曲线(图4.11)来研究各阶段中的几个特殊点及其所对应的应力值的含义。(1)弹性阶段。相应于图中的Ob段，材料的变形全部是弹性的，这一阶段称为弹性阶段。若加载不超过 b 点的应力值，然后卸载，变形可全部消失，故 b 点的应力值为材料只产生弹性变形时应力的最高限，称为弹性极限，以e表示。图中的

16、Oa 段为直线段，在 Oa 段内，应力与应变成正比，即材料符合胡克定律，这一段又可称为线弹性阶段。该段中应力的最高限即 a 点的应力值，称为比例极限，以p表示。弹性极限与比例极限虽有不同的物理含义，但由于它们的数值十分接近，故工程中通常将这两个名词互相通用而不加严格区分。(2)屈服阶段。应力超过弹性极限后，曲线明显变弯，接着就出现一段接近于水平直线的小锯齿形线段(bc)。此时应力停止增长而应变却继续增大，这表明材料已失去抵抗继续变形的能力，故将这种现象称为屈服或流动。这一阶段称为屈服阶段或流动阶段。在屈服阶段内的最高应力和最低应力分别称为上屈服极限和下屈服极限。上屈服极限的数值与试件形状、加载速度等因素有关，一般是不稳定的。下屈服极限则有比较稳定的数值，能够反映材料的性能。通常就把下屈服极限称为屈服极限或流动极限，以s表示。这一阶段里材料的变形主要是塑性变形。若试件的表面经过抛光，则当材料进入屈服阶段时，在试件表面上将出现一系列与轴线大致成45倾角的迹线(图4.12)，称为滑移线，它是材料内部晶格间发生滑移的结果。图4.12(3)强化阶段。图中向上升的曲线 ce 说明，过了屈服阶段后，