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类型微积分ppt讲义1.pptx

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    微积分 ppt 讲义
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    1、rxdtdx应应 用用 数数 学学 系系第一页,共九十七页。微积分(上)(下)微积分(上)(下)线性代数线性代数概率论与数理统计概率论与数理统计第二页,共九十七页。第二章第二章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三章第三章 函数的导数与微分函数的导数与微分第四章第四章 导数的应用导数的应用第五章第五章 不定积分不定积分第一章第一章 函数函数本学期学习内容本学期学习内容第三页,共九十七页。第一章第一章 函函 数数1.1 实数实数1.2 函数的概念函数的概念1.3 函数的基本性质函数的基本性质1.4 复合函数与反函数复合函数与反函数1.5 初等函数初等函数1.6 简单的经济函数简单的经济函数第四页

    2、,共九十七页。1.1 实实 数数 (R)1. 实数的分类实数的分类实数实数无理数:无理数:有理数有理数(Q):无限不循环小数无限不循环小数正数正数负数负数正整数正整数分数分数(0)qpp 2. 实数的性质实数的性质1).实数关于加、减、乘、除四种运算封闭实数关于加、减、乘、除四种运算封闭. 考虑自然数考虑自然数N、整数、整数Z、无理数、有理数、无理数、有理数Q是否关于上述是否关于上述四种运算封闭四种运算封闭?352 N 30.65 Z 220不是无理数,而是有理数不是无理数,而是有理数.只有有理数关于此四种运算封闭只有有理数关于此四种运算封闭.零零正分数正分数负整数负整数负分数负分数第五页,共

    3、九十七页。 可以把数轴看成是实数的直观图形可以把数轴看成是实数的直观图形( (几何模型几何模型),),即一即一个实数可以理解为数轴上的一个点。个实数可以理解为数轴上的一个点。4).实数与数轴的上的点一一对应。实数与数轴的上的点一一对应。2).实数是有序的实数是有序的,即任意两个实数即任意两个实数a,b必满足下述三个关必满足下述三个关系系 之一:之一:ab,ab,a=b.实数的三歧性实数的三歧性3).实数具有稠密性实数具有稠密性.而实数不仅具有稠密性而实数不仅具有稠密性,而且具有连续性而且具有连续性(实数间无实数间无“空隙空隙”) 。例例.设设a为有理数,为有理数,x为无理数,证明:为无理数,证

    4、明:(1)a+x是无理数是无理数 (2)当当a0时,时,ax是无理数是无理数.证:反证法证:反证法axb若若为为有有理理数数, ,则则因因为为有有理理数数对对四四种种运运算算满满足足封封闭闭性性, ,xba,也也为为有有理理数数,ax 与与已已知知矛矛盾盾 所所以以.为为无无理理数数第六页,共九十七页。3. 实数的绝对值实数的绝对值1).定义定义ab ababba ab ,0|,0aaaaa 2).几何意义几何意义|aa表表示示实实数数 与与原原点点的的距距离离; ;|abab 表表示示实实数数 与与 的的距距离离; ;3).性质性质21 | | 0,|.aaaa 2; aba b |3|(0

    5、).|aabbb 第七页,共九十七页。4|.aaa 5|;ahhah |;(0)ahahah h 或或思考:两个等号何时成立?思考:两个等号何时成立?0,;aaaa0,aaaa0,;aaaa6|; | ababab |abab , | abab下下证证:,ababab()ababab即即|,|,aaabbb|,|,aaabbb 从从而而|,ababab.abab于于是是成成立立第八页,共九十七页。| abab下下证证:|.ababab即即证证| |aabb|abb| |bbaa|aba|,abab|abab|.ababab即即|.| abab因因此此abab|,aabb|.bbaa第九页,共九

    6、十七页。4. 常用的实数集常用的实数集-区间和邻域区间和邻域设设a, b都是实数都是实数, 且且ab,有下面形式的区间有下面形式的区间a bx axb , ,a bx axb( , , , ),a bx axbababab(, ),axxa a闭区间闭区间半开半半开半闭区间闭区间无穷区间无穷区间区间区间,x xa或或第十页,共九十七页。(, ,axxa a ,),ax ax a( ,),ax ax a(,).xx 无穷区间无穷区间,x xa,x xa,x xa第十一页,共九十七页。邻域邻域定义定义1 以以x0为中心为中心, 以以 为半径为半径, 长为长为2 的开区间的开区间.即即 000(,)

    7、,0,xxx xx 2 0 xx00 x 称为点称为点 x0 的的 邻域邻域 , 记为记为U(x0 , ).例例1 U(2 , 1) U(- , )=x|x-2|1=(1,3).= x|x + | 0第十四页,共九十七页。1.2 函数的概念函数的概念一、一、 函数的定义函数的定义 定义定义 设设D为一个非空实数集为一个非空实数集,若对若对D中每一个值中每一个值 x,按按照一定的对应法则照一定的对应法则 ,总有确定的数值总有确定的数值y和它对应和它对应,则称则称 f是定义在是定义在D上的一个函数上的一个函数,记作记作 y=(x). 称称 x 为自变量为自变量, y 为因变量为因变量; D 为为

    8、f 的定义域的定义域; 注:注:1. 要求定义域要求定义域D为非空集合为非空集合.21yx 如如:0 x当当 时时, ,称称 为函数在为函数在 的函数值的函数值. .Dx 0)(0 xf函数值全体组成的数集函数值全体组成的数集 Z =y|y=f(x), xD为为 f 的值域的值域.第十五页,共九十七页。4. 定义域定义域D和对应法则和对应法则f 是确定函数的两要素是确定函数的两要素.3. 函数的定义域是使函数有意义的自变量的全体。所以函数的定义域是使函数有意义的自变量的全体。所以一般情况下,函数的定义域都省略不写一般情况下,函数的定义域都省略不写.1( ),f xx 如如:|0fDx x( )

    9、21,f xx1|2fDx x 在判断两个函数是否相同时,判断其是否具有相在判断两个函数是否相同时,判断其是否具有相同的定义域及对应法则同的定义域及对应法则.2. 由由f 确定的确定的y 值,必须是唯一的值,必须是唯一的.这类函数成为单值函数这类函数成为单值函数, 还有一类函数为多值函数还有一类函数为多值函数.2222,.yx xya如如:第十六页,共九十七页。( )1(,)( )(,0)(0,)f xxxg xxx 例例:( )1(,)( )2(,)f xxg xx 定定义义域域不不同同对对应应法法则则不不同同2( ) |( )f xxg xx 形形式式上上不不同同的的函函数数可可能能表表示

    10、示同同一一个个函函数数. .第十七页,共九十七页。2( )( )f xxg xx xR 值值域域不不同同fZR 0,)gZ 2( )210,25( )0,24f xxxg xxx 1,x 当当时时(1)3,f 5(1).4g 对对应应法法则则不不同同 由于有些函数的对应法则虽然形式上不同,但却表由于有些函数的对应法则虽然形式上不同,但却表示同一个函数示同一个函数,所以在判断过程中经常把两个函数的定所以在判断过程中经常把两个函数的定义域及值域是否相同作为一种判断方法义域及值域是否相同作为一种判断方法.第十八页,共九十七页。 但要注意的是但要注意的是,函数的定义域及值域相同仅是两个函函数的定义域及

    11、值域相同仅是两个函数相同的必要条件而非充分条件数相同的必要条件而非充分条件.即一般用它来判断两即一般用它来判断两个函数不相同个函数不相同.ycos xu sin v 221 5.同一个函数不会因自变量同一个函数不会因自变量,因变量字符的改变而发生因变量字符的改变而发生改变改变.第十九页,共九十七页。二、函数的表示法二、函数的表示法: :列举法、描述法、列表法、图象法列举法、描述法、列表法、图象法. .三、分段函数三、分段函数 问题:是否所有的函数都可用一个数学式子表示问题:是否所有的函数都可用一个数学式子表示呢?呢? 有的函数在其定义域的不同范围内有的函数在其定义域的不同范围内, ,要用两个或

    12、两要用两个或两个以上的数学式子来表示个以上的数学式子来表示, ,这一类函数叫作这一类函数叫作分段函数分段函数. .第二十页,共九十七页。例:绝对值函数例:绝对值函数 00 xxyxx x yxo oy=|x|1,0sgn()0,01,0 xyxxx 例例 符号函数符号函数11o oxy第二十一页,共九十七页。例例 狄立克莱函数狄立克莱函数 1,(0,(xQyxQ 有理数集)有理数集)无理数集)无理数集)例例 取整函数取整函数(阶梯曲线阶梯曲线) y = x 为不超过为不超过 x 的最大整数部的最大整数部分分. 实际上是取左端点实际上是取左端点. .o oxy1 12 21 11 12 20.3

    13、=02.8= 2-0.3=-1-2.6= -3第二十二页,共九十七页。1112 0011101kkxkxyxxxkkxk 注:分段函数虽然有几个式子,但它们合起来是一注:分段函数虽然有几个式子,但它们合起来是一个函数,而不是几个函数个函数,而不是几个函数. .第二十三页,共九十七页。四、函数定义域的求法四、函数定义域的求法1.1.实际问题中的函数定义域实际问题中的函数定义域 例例 边长为边长为a的正方形铁皮,在四个角裁掉边长为的正方形铁皮,在四个角裁掉边长为x的四个小正方形后,所得铁皮折为一个无顶的立的四个小正方形后,所得铁皮折为一个无顶的立方体,问方体,问x多大时,可使容积最大?多大时,可使

    14、容积最大?V axx 2(2 )axVD axx |02ax (0,)2集合表示法集合表示法区间表示法区间表示法第二十四页,共九十七页。2.2.一般函数的定义域一般函数的定义域例例 求函数求函数 的定义域的定义域. .yxx 1(4)ln(2)解:解:要使要使 有意义,必须有有意义,必须有yxx 1(4)ln(2)xxx 40ln(2)020 xxx 4212xxx 432从而,函数的定义域为从而,函数的定义域为x (2,3)(3,4)(4,) 如未特别指明如未特别指明,函数定义域函数定义域Df 为使函数有意义的自变量的全为使函数有意义的自变量的全体体.第二十五页,共九十七页。例例 求函数求函

    15、数 的定义域的定义域. .xyxx 2223解:解:要使要使 有意义,必须有有意义,必须有xyxx 2223xxxxx 222023230 xxx 220230 xxx 220230或或xxx 20(1)(3)0 xxx 20(1)(3)0或或xxx 213或或xx 213或或第二十六页,共九十七页。从而,函数的定义域为从而,函数的定义域为x ( 1,2(3,) xxx 213或或xx 213或或xx 23xx 213或或x 3x12或或第二十七页,共九十七页。3.3.分段函数的定义域分段函数的定义域分段函数的定义域为各分段子定义域的并集分段函数的定义域为各分段子定义域的并集. .xxf xx

    16、xx 2210( )10201例例 求函数求函数 的定义域的定义域. .解:可以看出,函数的定义域为解:可以看出,函数的定义域为x 1,0(0,1 x 1,1.即即第二十八页,共九十七页。例例.)3(,212101)(的的定定义义域域求求函函数数设设 xfxxxf解解 23121301)3(xxxf 212101)(xxxf 122231xx故故(x+3)的定义域为:的定义域为:-3,-1第二十九页,共九十七页。确定分段函数的定义域并求确定分段函数的定义域并求f (1), f (0), f (1), f (x1).2110 ( ),201xxf xx 例例 222 01.212xxxx 解解( 1)2f (0)2f (1)2f 2(1)111 0(1),201 1xxf xx 第三十页,共九十七页。2(1)(,),0,).yxyx 的的值值域域的的值值域域2(5)1cos22cos2 |cos|yxxx 0,2,值值域域为为2cos2,2.yx的的值值域域为为习题习题第三十一页,共九十七页。1.3 函数的基本性质函数的基本性质一、一、 单调性单调性单调性、有界性、奇偶性和周期性单调性、

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